Hallo allerseits,

sicherlich ist doch schon jeder mal mit der Knobelaufgabe von den Kugeln und der Balkenwaage konfrontiert wurden. Ist meistens so einfach, dass das Nachdenken nicht lohnt.

Da ich in meinem diesjährigen Urlaub leider auch einige Regentage hatte, habe ich mir mal eine Aufgabe aus diesem Bereich vorgenommen, die etwas komplizierter ist. Für die Lösung habe ich fast zwei Tage (natürlich nicht ununterbrochen) benötigt.

Folgende Aufgabenstellung: Man hat 12 Kugeln, eine ist etwas anders. Man weiß aber nicht, ob sie schwerer oder leichter ist und natürlich die berühmte Balkenwaage sowie drei Versuche.

Danach soll man wissen, welche von den Kugel es ist und ob sie schwerer oder leichter ist.

Gesucht ist also ein Lösungsbaum, der mit drei Wiegungen alle 24 möglichen Lösungen beschreibt. Man lasse sich nicht täuschen, da man nicht weiß, ob die Kugel leichter oder schwerer ist, ist es ein ziemlich verzwacktes Problem.

Wer denkt, dass er eine Lösung gefunden hat, bitte nicht gleich veröffentlichen. Vielleicht will ja noch jemand eine finden. Nur schreiben, dass man einen Weg gefunden hat. Wer aufgibt, kann das auch ruhig schreiben.

Traut sich wirklich keine an die Aufgabe heran?

HUK

Ich kenne die Aufgabe, und ich meine sie damals auch gelöst zu haben…

Aber leider habe ich die Lösung vergessen.
Ich werde mich bei Zeiten nocheinmal daran versuchen.

Lutz(ifer);114332 hat gesagt

Ich kenne die Aufgabe, und ich meine sie damals auch gelöst zu haben…

Aber leider habe ich die Lösung vergessen.
Ich werde mich bei Zeiten nocheinmal daran versuchen.

Ich drücke Dir die Daumen.

HUK

Den ersten Teil habe ich gelöst, aber der zweite Teil ist wesentlich kniffliger… mal schauen ob ich den gelöst bekomme…

Hallo Tobias,

was verstehst Du unter dem ersten Teil?

HUK

Mist, schwerer als ich in erinnerung habe…

50% schaffe ich mit dreimal wiegen
bei den restlichen 50% brauche ich vier mal…

Lutz(ifer);114340 hat gesagt

Mist, schwerer als ich in erinnerung habe…

50% schaffe ich mit dreimal wiegen
bei den restlichen 50% brauche ich vier mal…

Etwas helfen sei mir erlaubt …

Beim ersten Wiegen auf jeder Seite 6 Kugeln ist falsch. Wenn man ein neutrale Kugel gefunden hat (also nicht leichter oder schwerer), dann kann diese Kugel sehr hilfreich sein.

HUK

Hallo HUK,

ich bin auch noch dran. Bin bei ersten Lösungsansätzen aber leider auf ein Minimum von vier Wiegungen gekommen. Werde es bei Gelegenheit erneut durchgehen.

Liebe Grüße
Falko

Ich sags einfach mal ganz unspektakulär: gelöst

Lutz(ifer);114417 hat gesagt

Ich sags einfach mal ganz unspektakulär: gelöst

Gratulation !!!

HUK

Ist denn noch jemand beim Knobeln?

HUK

Hallo allerseits,

für alle, die sich die Zähne ausgebissen haben, bzw. eine eigene Lösung (die wäre natürlich auch interessant) gefunden haben, meine Lösung.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten dieses Problem zu lösen. Sie beruhen aber eigentlich alle darauf, dass man immer so wiegt, das drei Ergebnisse (links oben, rechts oben, gleich) möglich sind. Damit hat man die Möglichkeit, einen Ergebnisbaum mit  27 verschiedene Entpunkten zu  erstellen. Da aber nur 24 benötigt werden (1 -12 leicht, 1 - 12 schwer) ist die Aufgabe lösbar.
Wichtig ist, dass man gefundene "neutrale Kugeln" benutzt, um herauszufinden, ob die gesuchte Kugel leichter oder schwerer ist.

Puh, also meine Statistikkenntnisse haben mich hier verlassen...

Sabrina Enderle;114554 hat gesagt

Puh, also meine Statistikkenntnisse haben mich hier verlassen…

Hallo Sabrina,

was verstehst Du nicht?

HUK

Hans_Ulrich;114555 hat gesagt

was verstehst Du nicht?

öhm… alles

Sabrina Enderle;114556 hat gesagt

öhm… alles

In den nächsten Tagen folg eine ausführliche Beschreibung des obigen Diagrammes. Dann sind alle Klarheiten restlos beseitigt …

HUK

Hans_Ulrich;114557 hat gesagt

In den nächsten Tagen folg eine ausführliche Beschreibung des obigen Diagrammes. Dann sind alle Klarheiten restlos beseitigt …

Oh danke

Hallo allerseits,

wie versprochen eine kurze Beschreibung des Diagramms.



Zum ersten Wiegen legen wir links die Kugeln 1, 2, 3 und 4 sowie rechts 5, 6, 7, und 8 auf.
Jetzt gibt es drei Möglichkeiten: Gleichstand, links nach oben oder rechts nach oben.

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Zuerst Gleichstand: Jetzt wissen wir, die gesuchte Kugel ist entweder die 9, 10, 11, oder 12. Wir wissen aber nicht ob schwerer oder leichter.

Zum zweiten Wiegen links die Kugeln 1, 2, und 3 (von denen wissen wir ja, dass sie es nicht sind) und rechts 10, 11, und 12.

Haben wir Gleichstand kann die gesuchte Kugel nur die 9 sein. Ob sie eine Leichte oder Schwere ist, ermitteln wir im Vergleich mit einer neutralen Kugel (hier die 1).

Steigt bei der zweiten Wiegung die linke Seite, dann wissen wir, dass eine von den Kugeln 10, 11, oder 12 die schwere Kugel ist.

Somit vergleichen wir die 10 mit der 11, die Seite, die sich senkt, hat die schwerere Kugel. Bei Gleichstand kann dann nur die 12 die Schwere sein.

Steigt aber bei der zweiten Messung die rechte Seite, ist eine der Kugeln 10, 11, oder 12 eine leichte Kugel. Die Ermittlung, welche es ist, ist analog dem eben beschriebenen Verfahren.

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Kommen wir wieder zur ersten Wiegung und sagen die linke Seite hat sich gehoben. Jetzt wissen wir, dass keine der  Kugeln 9, 10, 11 und 12 die gesuchte Kugel ist. Weiterhin wissen wir, dass 1, 2, 3 und 4 nur eine leichte oder eine neutrale Kugel, sowie 5, 6, 7 und 8 nur eine schwere oder neutrale Kugel sein kann.

Am einfachsten wäre es jetzt, wenn wir drei Leichte und drei Schwere auf die eine Seite und ebenso viele Neutrale auf die andere Seite legen könnten. Geht aber nicht, denn wir haben ja nur vier neutrale Kugeln. Jetzt müssen wir etwas tricksen. Wir legen 1, 2 und 3 als Leichte sowie 5 und 6 als Schwere auf die linke Seite. Rechts kommen vier neutrale Kugeln plus die 4 als leichte Kugel. Die 4 verhält sich jetzt aber, da sie auf der anderen Seite als die anderen leichten Kugeln liegt, genau anders herum als die Leichten auf der anderen Seite. Sie ist in ihrer Wirkung quasi eine schwere Kugel geworden.

Bleibt die Wage im Gleichgewicht, kann nur noch 8 oder 9 die gesuchte Kugel sein. Da wir aber aus der ersten Wiegung wissen, dass es sich dabei um eine schwere oder neutrale Kugel handeln muss, zeigt ein einfacher Vergleich der beiden Kugeln als dritte Wiegung, welche die Gesuchte ist.

Steigt aber bei der zweiten Wiegung die linke Seite, muss es sich bei der gesuchten Kugel um eine Leichte handeln. Damit kommt nur die Kugel 1, 2 oder 3 in Frage.
Wir vergleichen jetzt 1 mit 2. Bei Gleichgewicht ist Kugel 3 die gesuchte leichte Kugel, ansonsten die Kugel, welche nach oben geht.    

Geht aber bei der zweiten Wiegung die linke Seite nach unten, ist entweder 5 und 6 eine schwere oder neutrale Kugel bzw. 4 eine leichte oder neutrale Kugel.

Wir vergleichen jetzt 5 mit 6, bei Gleichgewicht ist die Kugel 4 eine Leichte. Ansonsten die, welche nach unten sinkt eine schwere Kugel.

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Kommen wir wieder zur ersten Wiegung und den dritten möglichen Fall, dass sich die linke Seite hebt.
Im Prinzip ist diese Möglichkeit identisch mit dem zweiten Fall, nur das sich die Vorzeichen umdrehen.  Der Algorithmus ist wie oben bereits beschrieben.

Damit sind alle 24 Möglichkeiten, die als Ergebnis in Frage kommen beschrieben. Damit es etwas übersichtlicher wird, habe ich mich an die Reihenfolge des Diagramms von links noch rechts und oben nach unten gehalten.  

HUK

Ich wär nie darauf gekommen^^

Okay, die erste Wiegung ist bei meiner Lösung gleich, 4:4, aber danach läuft es bei mir vollkommen anders ab. Wenn ich demnächst einen Scanner hab, versuche ich mal meine Lösungsskizze hoch zu laden.
Aber deine Lösung ist eleganter. Bei mir werden die Kugeln wie nochwas verschoben.